Límite (sucesión de conjuntos)

En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos $(A_{n})_{n}$ al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos $A_{n}$ componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.​​

Definición para sucesiones monótonas

Sea $(A_{n})_{n}$ una sucesión de conjuntos, se dice que dicha sucesión es monótona creciente, y se indica como $A_{n}\uparrow$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que $A_{n}\subseteq A_{n+1}$.​

De la misma manera, la sucesión de conjuntos es monónota decreciente y se indica como $A_{n}\downarrow$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que $A_{n}\supseteq A_{n+1}$.​

Haciendo uso de operadores de conjuntos (unión, intersección), en una sucesión monótona creciente con un número fijado n se tiene que:

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$

El límite de esta sucesión creciente se define de manera natural como:​

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

es decir, como la unión de los infinitos conjuntos A_n de la sucesión. Una definición similar se sigue para una sucesión monótona decreciente. Fijado un n se tiene que:

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$

Y por tanto, el límite de esta sucesión decreciente se define como:​

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$

esto es, como la intersección de los conjuntos A_n de la sucesión.

Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite o que es convergente.​

Definición general

De manera más general y dada cualquier sucesión de conjuntos, pueden definirse los límites inferior y superior construyendo dos sucesiones monótonas creciente y decreciente respectivamente:​

Sea una sucesión de conjuntos (An)n. El límite inferior es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la sucesión salvo quizá un número finito de ellos: $\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$ El límite superior es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a infinitos conjuntos en la sucesión: $\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$

De las definiciones anteriores se puede obtener la relación:

$\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

En el caso de que ambos límites coincidan, se toma este conjunto común como el límite de la sucesión A_n:

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

Véase también

• Límite matemático
• Límite superior y límite inferior

Enlaces externos

• Limit of sequence of sets en PlanetMath.

• Datos: Q1131116